متتالية معرفة بالترجع وأسية

التمرين 4 — متتالية ودالة أسية

لتكن المتتالية $(u_n)$ معرفة بـ $u_0=0$ و، لكل عدد صحيح طبيعي $n\ge 0$: $u_{n+1}=e^{u_n}-1$.

نعتبر الدالة g المعرفة على $\mathbb{R}$ بـ $g(x)=e^x-x-1$.

1. بين أن $g(x)\ge 0$ لكل $x\in \mathbb{R}$، مع المساواة إذا وفقط إذا كان $x=0$.
2. استنتج أنه لكل عدد صحيح طبيعي $n\ge 0$: $u_{n+1}\ge u_n$. (المتتالية متزايدة.)
3. بين بالترجع أن $u_n\ge 0$ لكل عدد صحيح طبيعي $n\in \mathbb{N}$.
4. نسلم بأن المتتالية $(u_n)$ تتقارب نحو نهاية $\ell \in \mathbb{R}$. عين $\ell$.
5. احسب الحدود الخمسة الأولى $u_0$، $u_1$، $u_2$، $u_3$، $u_4$ (قيم دقيقة أو تقريب إلى $10^{-3}$)، وتحقق من الانسجام مع النتائج السابقة.