التمرين 6 — الشكل غير المحدد 1 ∞ ودراسة دالة نعتبر الدالة g المعرفة على ] 0 ; + ∞ [ بـ: g ( x ) = ( 1 + x 2 ) x بين أنه من أجل كل x > 0 : g ( x ) = e x × l n ( 1 + 2/ x ) . استنتج أن حساب x → + ∞ lim g ( x ) يرجع إلى حساب x → + ∞ lim x × ln ( 1 + x 2 ) . ضع t = x 2 (وبالتالي t → 0 + عندما x → + ∞ ). بين أن x × ln ( 1 + x 2 ) = t 2 × ln ( 1 + t ) ، ثم احسب x → + ∞ lim x × ln ( 1 + x 2 ) باستخدام النهاية المرجعية t → 0 lim t ln ( 1 + t ) = 1 . استنتج x → + ∞ lim g ( x ) . نضع h ( x ) = g ( x ) − e 2 . بين أن إثبات أن المعادلة h ( x ) = 0 ليس لها حل على ] 0 ; + ∞ [ ليس واضحاً، لكن بين أنه يوجد على الأقل حل واحد للمعادلة g ( x ) = 7 على ] 1 ; + ∞ [ . إرشاد: احسب g ( 1 ) واستخدم حقيقة أن g متصلة وأن x → + ∞ lim g ( x ) = e 2 ≈ 7 , 389 . احسب x → 0 + lim g ( x ) وفسر النتيجة.

نهاية غير محددة 1^∞ ودراسة دالة أسية

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Source-style : BAC France Spé Maths 2024

Inspiré du style BAC France Spé Maths 2024

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

التمرين 6 — الشكل غير المحدد $1^{\infty}$ ودراسة دالة

نعتبر الدالة $g$ المعرفة على $] 0; + \infty [$ بـ:

$g (x) = (1 + \frac{2}{x})^{x}$

بين أنه من أجل كل $x > 0$ : $g (x) = e^{x \times l n (1 + 2/ x)}$ . استنتج أن حساب $x \to + \infty lim g (x)$ يرجع إلى حساب $x \to + \infty lim x \times ln (1 + \frac{2}{x})$ .
ضع $t = \frac{2}{x}$ (وبالتالي $t \to 0^{+}$ عندما $x \to + \infty$ ). بين أن $x \times ln (1 + \frac{2}{x}) = \frac{2 \times ln ( 1 + t )}{t}$ ، ثم احسب $x \to + \infty lim x \times ln (1 + \frac{2}{x})$ باستخدام النهاية المرجعية $t \to 0 lim \frac{ln ( 1 + t )}{t} = 1$ .
استنتج $x \to + \infty lim g (x)$ .
نضع $h (x) = g (x) - e^{2}$ . بين أن إثبات أن المعادلة $h (x) = 0$ ليس لها حل على $] 0; + \infty [$ ليس واضحاً، لكن بين أنه يوجد على الأقل حل واحد للمعادلة $g (x) = 7$ على $] 1; + \infty [$ .
إرشاد: احسب $g (1)$ واستخدم حقيقة أن $g$ متصلة وأن $x \to + \infty lim g (x) = e^{2} \approx 7, 389$ .
احسب $x \to 0^{+} lim g (x)$ وفسر النتيجة.

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

استعمل المتطابقة $u^v=e^{v\ln u}$ لإعادة كتابة $g(x)=\left(1+\frac2x\right)^x$ في شكل أسي.

2 الإرشاد 2

أجر تغيير المتغير $t=2/x$ لتحويل النهاية إلى نهاية مرجعية من نوع $\dfrac{\ln(1+t)}{t}$ عندما $t\to0$.

3 الإرشاد 3

بالنسبة لوجود حل للمعادلة $g(x)=7$، احسب $g(1)$، قارنه بـ $7$ وبالنهاية $e^2$، ثم استعن بمبرهنة القيم الوسيطية (استمرارية g).

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

استعمل المتطابقة $u^{v} = e^{v l n u}$ لإعادة كتابة $g (x) = (1 + \frac{2}{x})^{x}$ في شكل أسي.

أجر تغيير المتغير $t = 2/ x$ لتحويل النهاية إلى نهاية مرجعية من نوع $\frac{ln ( 1 + t )}{t}$ عندما $t \to 0$ .

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points