TVI et existence d'une solution d'équation

Exercice 2 — Théorème des valeurs intermédiaires

On considère la fonction $h$ définie sur $[0;2]$ par :

$h(x)=x^3-3x+1$

1. Montrer que $h$ est continue sur $[0;2]$.
2. Calculer $h(0)$ et $h(2)$.
3. En déduire que l'équation $h(x)=0$ admet au moins une solution dans l'intervalle $]0;2[$. Quel théorème utilisez-vous ? Vérifier soigneusement ses hypothèses.
4. Montrer de même que l'équation $h(x)=0$ admet au moins une solution dans $]-2;0[$. (On admettra que $h(-2)=-1$.)