Limite remarquable de type 1^∞ et étude d'une fonction exponentielle

Exercice 6 — Forme indéterminée $1^{\infty }$ et étude de fonction

On considère la fonction $g$ définie sur $]0;+\infty [$ par :

$g(x)={\left(1+\frac{2}{x}\right)}^x$

1. Montrer que pour tout $x>0$ : $g(x)=e^{x\times \ln (1+2/x)}$. En déduire que le calcul de $\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)$ revient à calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }x\times \ln \left(1+\frac{2}{x}\right)$.
2. Poser $t=\frac{2}{x}$ (ainsi $t\to 0^{+}$ quand $x\to +\infty$). Montrer que $x\times \ln \left(1+\frac{2}{x}\right)=\frac{2\times \ln (1+t)}{t}$, puis calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }x\times \ln \left(1+\frac{2}{x}\right)$ en utilisant la limite de référence $\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+t)}{t}=1$.
3. En déduire $\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)$.
4. On pose $h(x)=g(x)-e^2$. Montrer que l'équation $h(x)=0$ n'a pas de solution sur $]0;+\infty [$ n'est pas évidente, mais montrer qu'il existe au moins une solution à l'équation $g(x)=7$ sur $]1;+\infty [$.
   Indication : calculer $g(1)$ et utiliser le fait que $g$ est continue et que $\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)=e^2\approx 7,389$.
5. Calculer $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }g(x)$ et interpréter le résultat.