Soit la fonction f définie sur R ∖ { − 1 } par : f ( x ) = x + 1 3 x 2 + 2 x − 1 Calculer x → + ∞ lim f ( x ) et x → − ∞ lim f ( x ) . Effectuer la division euclidienne de 3 x 2 + 2 x − 1 par x + 1 , puis en déduire une asymptote oblique à la courbe représentative de f . Étudier la position de la courbe par rapport à cette asymptote oblique.

Limites en ±∞ et asymptotes d'une fonction rationnelle

Facile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Source-style : BAC France Spé Maths 2024

Inspiré du style BAC France Spé Maths 2024

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

Soit la fonction f définie sur $R ∖ {- 1}$ par :

$f (x) = \frac{3 x ^{2} + 2 x - 1}{x + 1}$

Calculer $x \to + \infty lim f (x)$ et $x \to - \infty lim f (x)$ .
Effectuer la division euclidienne de $3 x^{2} + 2 x - 1$ par $x + 1$ , puis en déduire une asymptote oblique à la courbe représentative de f.
Étudier la position de la courbe par rapport à cette asymptote oblique.

Indices

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1 Indice 1

Pour les limites en $\pm\infty$, factorise le numérateur et le dénominateur par la plus grande puissance de $x$. Compare ensuite les degrés pour voir comment la fraction se comporte.

2 Indice 2

Pour la division euclidienne, cherche d'abord le premier terme du quotient : combien de fois $x$ rentre-t-il dans $3x^2$ ? Puis multiplie $(x+1)$ par ce terme et soustrais du numérateur.

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La méthode — par où commencer

Pour les limites en $\pm \infty$ , factorise le numérateur et le dénominateur par la plus grande puissance de $x$ . Compare ensuite les degrés pour voir comment la fraction se comporte.

Pour la division euclidienne, cherche d'abord le premier terme du quotient : combien de fois $x$ rentre-t-il dans $3 x^{2}$ ? Puis multiplie $(x + 1)$ par ce terme et soustrais du numérateur.

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