Fonction avec paramètre, continuité et limite remarquable

On définit la fonction f sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x)=\frac{e^{2x}-1}{e^x-1}$ si $x\ne 0$, et $f(0)=k$

où k est un réel à déterminer.

1. Montrer que pour $x\ne 0$, on peut écrire $f(x)=e^x+1$. En déduire $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)$.
2. Déterminer la valeur de k pour que f soit continue en 0.
3. On considère maintenant la fonction g définie sur $]0;+\infty [$ par : $g(x)=\frac{e^x-1-x}{x^2}$. Calculer $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }g(x)$ en utilisant les limites de référence. (On pourra écrire $e^x-1=x\times \frac{e^x-1}{x}$ et étudier soigneusement chaque facteur.)
4. On admet que g est croissante sur $]0;+\infty [$ et que $\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)=+\infty$. Montrer que l'équation $g(x)=1$ admet une unique solution $\beta$ sur $]0;+\infty [$ et que $\beta \in ]1;2[$.