Paramètre et continuité — équation avec TVI et unicité

Pour tout réel m, on définit la fonction $f_m$ sur $\mathbb{R}$ par :

$f_m(x)=m\cdot e^x-x^2-2x-1$

1. Montrer que $f_m$ est continue sur $\mathbb{R}$ pour tout $m\in \mathbb{R}$.
2. On cherche les valeurs de m pour lesquelles l'équation $f_m(x)=0$ admet au moins une solution dans l'intervalle $[0;1]$.
   a) Calculer $f_m(0)$ et $f_m(1)$ en fonction de m.
   b) Trouver les valeurs de m telles que $f_m(0)\times f_m(1)\le 0$, et conclure à l'aide du TVI.
3. On fixe $m=1$. Montrer que l'équation $f_1(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[0;1]$.
   (On montrera que $f_1$ est strictement monotone sur $[0;1]$ en étudiant le signe de $f_1^{\prime }(x)$.)
4. Montrer que $0,2<\alpha <0,3$. (On calculera $f_1(0,2)$ et $f_1(0,3)$ en utilisant $e\approx 2,718$, $e^{0,2}\approx 1,221$ et $e^{0,3}\approx 1,350$.)
5. Montrer que pour tout $x\in [0;1]$ : $f_1(x)=0\iff e^x=x^2+2x+1$. Interpréter géométriquement.