Limite d'une suite définie par récurrence et point fixe

Exercice 5 — Suite récurrente, continuité et point fixe

On considère la fonction f définie sur [0 ; 1] par :

$f(x)=\frac{1}{3}\times (x^2+2)$

et la suite $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

1. Montrer que f est continue sur [0 ; 1] et que $f([0;1])\subset [0;1]$.
2. Montrer par récurrence que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n\in [0;1]$.
3. Montrer que pour tout $x\in [0;1]$ : $|f(x)-f(y)|\le \frac{2}{3}|x-y|$ pour tout $y\in [0;1]$.
   Indication : utiliser $f(x)-f(y)=\frac{x^2-y^2}{3}=\frac{(x-y)(x+y)}{3}$.
4. En déduire que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $|u_{n+1}-u_n|\le {\left(\frac{2}{3}\right)}^n\times |u_1-u_0|$. Calculer $u_1$, puis montrer que $|u_{n+1}-u_n|\le {\left(\frac{2}{3}\right)}^n\times \frac{2}{3}$.
5. Admettre que $(u_n)$ converge vers un réel $\ell \in [0;1]$. Déterminer $\ell$ en résolvant l'équation $f(\ell )=\ell$ sur [0 ; 1].