Étude d'une fonction avec forme indéterminée ∞−∞ et continuité

Soit la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty [$ par $f(x)=\sqrt{x^2+4x}-x$ pour $x>0$, et $f(0)=0$. 1) Montrer que $f$ est continue en $0$. 2) Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ ; la forme est-elle indéterminée ? Lever l'indétermination par l'expression conjuguée. 3) On considère la fonction $g$ définie sur $]0;+\infty [$ par $g(x)=\frac{f(x)}{x\ln (1+1/x)}$. Montrer que $\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)=2$ (on posera $u=1/x$ et on utilisera une limite de référence). 4) Montrer que pour tout $x>0$ : $f(x)>0$. En déduire le signe de $g(x)$.