Continuité et prolongement par continuité d'une fonction

Exercice 1 – Prolongement par continuité

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus \{1\}$ par :

$f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x-1}$

1. Montrer que pour tout $x\ne 1$, on a $f(x)=x-2$.

2. La fonction $f$ admet-elle un prolongement par continuité en $x=1$ ? Si oui, déterminer la valeur $g(1)$ de ce prolongement et définir complètement la fonction $g$ ainsi obtenue.

3. On considère maintenant la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

   $h(x)=f(x)$ si $x\ne 1$, et $h(1)=0$.

   La fonction $h$ est-elle continue en $x=1$ ? Justifier rigoureusement.