Continuité, TVI et point fixe — niveau difficile

Exercice 6 — Point fixe et théorème des valeurs intermédiaires

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;1]$ par :

$f(x)=\frac{\ln (x+e)}{e}$

où $e$ désigne la constante de Neper ($e\approx 2,718$).

1. Montrer que $f$ est continue sur $[0;1]$.
2. Montrer que pour tout $x\in [0;1]$, on a $f(x)\in [0;1]$. (On montrera que $1\le x+e\le e+1$, puis on encadrera $\ln (x+e)$.)
3. On définit la fonction $g$ sur $[0;1]$ par $g(x)=f(x)-x$.
   a. Calculer $g(0)$ et $g(1)$.
   b. Montrer que l'équation $f(x)=x$ admet au moins une solution dans $[0;1]$. Un tel point est appelé point fixe de $f$.
   c. Montrer que cette solution est unique. (On admettra que $f$ est strictement croissante et que $f(x)-x$ est strictement décroissante sur $[0;1]$.)
4. En utilisant une suite $(x_n)$ définie par $x_0=0$ et $x_{n+1}=f(x_n)$, donner les trois premiers termes $x_0$, $x_1$, $x_2$ (valeurs approchées à $10^{-3}$ près), et vérifier qu'ils semblent converger vers le point fixe.