Limites, formes indéterminées et théorème des valeurs intermédiaires

Exercice 2 – Étude d'une fonction et application du TVI

On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty [$ par :

$f(x)=x-2+\ln (x)$

Partie A – Étude des limites

1. Calculer $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)$. Interpréter graphiquement ce résultat.

2. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$. On justifiera que les croissances comparées ne sont pas nécessaires ici.

Partie B – Continuité et application du TVI

3. Justifier que $f$ est continue sur $]0;+\infty [$.

4. Montrer que $f$ est strictement croissante sur $]0;+\infty [$. (On admettra que $f$ est dérivable et que $f^{\prime }(x)=1+\frac{1}{x}$.)

5. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]0;+\infty [$.

6. Montrer que $\alpha \in ]0,1;0,2[$. (On rappelle que $\ln (0,1)\approx -2,303$ et $\ln (0,2)\approx -1,609$.)