Application du TVI : existence d'une solution

On considère la fonction f définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x)=x^3-3x+\ln (x+2)$

1. Vérifier que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$. (On précisera le domaine de $\ln (x+2)$.)
2. Calculer $f(-1)$ et $f(1)$.
3. En appliquant le théorème des valeurs intermédiaires, montrer qu'il existe au moins un réel $\alpha \in ]-1;1[$ tel que $f(\alpha )=0$. Vérifier soigneusement les hypothèses du théorème.
4. On admet que $f$ est strictement monotone sur $]-1;1[$. En déduire que $\alpha$ est unique dans cet intervalle.
5. Donner un encadrement de $\alpha$ à $10^{-1}$ près.