Limite de forme 1^∞ et étude complète

Exercice 5 — Forme indéterminée $1^{\infty }$ et étude de fonction

On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty [$ par :

$f(x)=x^{1/\ln (x)}$   (c'est-à-dire $x$ à la puissance $\frac{1}{\ln (x)}$)

1. Montrer que pour tout $x>0$, $x\ne 1$, on a : $f(x)=e^{\ln (x)/\ln (x)}=e$. Conclure sur la nature de $f$.
2. Que vaut $f(1)$ ? (On rappelle que $1^{1/\ln (1)}$ n'est pas défini car $\ln (1)=0$.)
3. On pose maintenant $g(x)={\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x$ pour $x>0$.
   a. Montrer que $\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)=e$ en utilisant la limite de référence $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e$.
   b. Calculer $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }g(x)$ en étudiant $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)$. Préciser la forme indéterminée. (On pourra écrire $1+\frac{1}{x}=\frac{x+1}{x}$.)
   c. En déduire que l'équation $g(x)=2$ admet au moins une solution dans $]0;+\infty [$. Vérifier les hypothèses du théorème utilisé.
4. Montrer que $g$ est strictement croissante sur $]0;+\infty [$ en étudiant le signe de $\ln (g(x))=x\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)$ (on admettra que la dérivée de $x\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)$ est $\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{x+1}$, et on admettra que cette expression est positive pour $x>0$). En déduire l'unicité de la solution de $g(x)=2$.