جذور الوحدة، تحويلات ومتتالية عقدية

التمرين 4 — الجذور التكعيبية للوحدة والمتتالية العقدية

الجزء الأول — الجذور التكعيبية للوحدة

1. حل في $\mathbb{C}$ المعادلة $z^3=1$. نرمز للجذور الثلاثة بـ 1 و $j$ و $\bar{j}$، حيث $j=e^{i2\pi /3}$.

2. بين أن $j^2=\bar{j}$ وأن $1+j+j^2=0$. استنتج قيمة $\bar{j}+{\bar{j}}^2$.

3. احسب $(1+j{)}^{10}+(1+j^2{)}^{10}$. بسّط النتيجة.

الجزء الثاني — متتالية معرفة بالترجع في $\mathbb{C}$

نعرّف المتتالية $(z_n)$ بما يلي: $z_0=1$، ولكل $n\in \mathbb{N}$، $z_{n+1}=\left(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\times z_n$.

4. اكتب العدد العقدي $q=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$ على الشكل الأسي. احسب $|q|$ و $\arg (q)$.

5. بين بالترجع أنه، لكل $n\in \mathbb{N}$ : $z_n=e^{in\pi /3}$.

6. حدد أصغر عدد صحيح $n\ge 1$ بحيث يكون $z_n$ عددًا حقيقيًا سالبًا قطعيًا.

7. هل النقط $M_n$ التي ألحاقها $z_n$ تقع جميعها على نفس الدائرة؟ إذا كان الأمر كذلك، فحدد مركزها وشعاعها. كم عدد النقط المختلفة التي تحددها المتتالية $(M_n)$ على هذه الدائرة؟