Exponentielle complexe, trigonométrie et suite géométrique complexe

Exercice 6 — Forme exponentielle, trigonométrie et suite complexe

Partie A — Linéarisation et formules trigonométriques

1. En utilisant la formule d'Euler $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$, exprimer ${\cos }^3\theta$ en fonction de $\cos (3\theta )$ et $\cos \theta$. (On utilisera le développement de $(e^{i\theta }+e^{-i\theta }{)}^3$.)
2. De même, exprimer ${\sin }^2\theta \times \cos \theta$ en fonction de $\sin (3\theta )$ et $\sin \theta$.

Partie B — Suite géométrique complexe

On considère la suite $(z_n)$ définie par $z_0=1$ et, pour tout entier $n\in \mathbb{N}$ :

$z_{n+1}=(1+i)\times z_n$

3. Montrer que $(z_n)$ est une suite géométrique de raison $q=1+i$. Préciser $|q|$ et $\arg (q)$.
4. Exprimer $z_n$ en fonction de $n$. Donner la forme exponentielle de $z_n$, puis sa forme algébrique.
5. Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $|z_n|=2^{n/2}$ et $\arg (z_n)=\frac{n\pi }{4}$ (modulo $2\pi$).
6. Déterminer le plus petit entier $n\ge 1$ tel que $z_n$ soit un réel strictement négatif. Calculer la valeur de $z_n$ correspondante.