Racines de l'unité, transformations et suite complexe

Exercice 4 — Racines cubiques de l'unité et suite complexe

Partie A — Racines cubiques de l'unité

1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^3=1$. On notera 1, $j$ et $\bar{j}$ les trois racines, avec $j=e^{i2\pi /3}$.

2. Montrer que $j^2=\bar{j}$ et que $1+j+j^2=0$. En déduire la valeur de $\bar{j}+{\bar{j}}^2$.

3. Calculer $(1+j{)}^{10}+(1+j^2{)}^{10}$. Simplifier le résultat.

Partie B — Suite définie par récurrence dans $\mathbb{C}$

On définit la suite $(z_n)$ par : $z_0=1$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $z_{n+1}=\left(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\times z_n$.

4. Écrire le nombre complexe $q=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$ sous forme exponentielle. Calculer $|q|$ et $\arg (q)$.

5. Montrer par récurrence que, pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $z_n=e^{in\pi /3}$.

6. Déterminer le plus petit entier $n\ge 1$ tel que $z_n$ soit un réel strictement négatif.

7. Les points $M_n$ d'affixes $z_n$ sont-ils tous sur un même cercle ? Si oui, préciser le centre et le rayon. Combien de points distincts la suite $(M_n)$ définit-elle sur ce cercle ?