Forme trigonométrique de z = 1 + i√3

Exercice 2 — Forme trigonométrique et formule de Moivre

On considère le nombre complexe $z=1+i\sqrt{3}$.

Partie A — Forme trigonométrique

1. Calculer $|z|$ et déterminer un argument $\theta$ de $z$. En déduire la forme trigonométrique puis la forme exponentielle de $z$.

2. En utilisant la forme exponentielle, calculer $z^6$ et $z^{12}$. Donner les résultats sous forme algébrique.

Partie B — Formule de Moivre et identités trigonométriques

3. En développant $(\cos \theta +i\sin \theta {)}^3$ par la formule du binôme, puis en appliquant la formule de Moivre, établir les expressions de $\cos (3\theta )$ et $\sin (3\theta )$ en fonction de $\cos \theta$ et $\sin \theta$.

4. Déduire de la question 3 la valeur exacte de $\cos (\pi /9)$ en résolvant une équation du troisième degré appropriée. (On posera $x=\cos (\pi /9)$ et on utilisera $\cos (\pi /3)=1/2$.)