Exercice 2 — Équations dans C On travaille dans l'ensemble C des nombres complexes. Résoudre dans C l'équation z 2 + 2 z + 5 = 0 . On exprimera les solutions sous forme algébrique. Soit z 0 une solution de l'équation précédente. Vérifier que l'autre solution est z 0 (le conjugué de z 0 ). Cette propriété est-elle générale pour tout polynôme à coefficients réels ? Justifier brièvement. Résoudre dans C l'équation z 2 − ( 3 + i ) z + ( 2 + 3 i ) = 0 . (On pourra vérifier que z = 2 est une solution et factoriser.)

Équation du second degré dans ℂ et racines complexes — Bac Cameroun 2023

Facile Inspiré BAC Cameroun

Exercice inspiré d'un BAC Cameroun

Source-style : BAC Cameroun Série C 2023

Inspiré du style BAC Cameroun Série C 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

Exercice 2 — Équations dans $C$

On travaille dans l'ensemble $C$ des nombres complexes.

Résoudre dans $C$ l'équation $z^{2} + 2 z + 5 = 0$ . On exprimera les solutions sous forme algébrique.
Soit $z_{0}$ une solution de l'équation précédente. Vérifier que l'autre solution est $\overline{z_{0}}$ (le conjugué de $z_{0}$ ). Cette propriété est-elle générale pour tout polynôme à coefficients réels ? Justifier brièvement.
Résoudre dans $C$ l'équation $z^{2} - (3 + i) z + (2 + 3 i) = 0$ . (On pourra vérifier que $z = 2$ est une solution et factoriser.)

Indices

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1 Indice 1

Pour la première équation, calcule le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$. Comme il est négatif, tu devras trouver sa racine carrée complexe : si $\Delta = -16$, quel nombre imaginaire pur au carré donne $-16$ ?

2 Indice 2

Pour la troisième équation, ignore l'indication erronée. Calcule le discriminant $\Delta = (3+i)^2 - 4(2+3i)$, puis cherche $\delta = x + iy$ tel que $\delta^2 = \Delta$ en résolvant le système $x^2 - y^2 = \text{Re}(\Delta)$ et $2xy = \text{Im}(\Delta)$.

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Pour la première équation, calcule le discriminant $Δ = b^{2} - 4 a c$ . Comme il est négatif, tu devras trouver sa racine carrée complexe : si $Δ = - 16$ , quel nombre imaginaire pur au carré donne $- 16$ ?

Pour la troisième équation, ignore l'indication erronée. Calcule le discriminant $Δ = (3 + i)^{2} - 4 (2 + 3 i)$ , puis cherche $δ = x + i y$ tel que $δ^{2} = Δ$ en résolvant le système $x^{2} - y^{2} = Re (Δ)$ et $2 x y = Im (Δ)$ .

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