Exercice 4 — Racines cubiques et géométrie complexe Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal (O, ū, v̄), on note A, B, C les points d'affixes respectives z A , z B , z C . Résoudre dans C l'équation z 3 = − 8 . On exprimera les trois racines sous formes exponentielle et algébrique. On note z 0 = − 2 , z 1 et z 2 les trois racines trouvées. Placer les points A, B, C d'affixes z 0 , z 1 , z 2 dans le plan complexe. Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier à l'aide des modules et arguments. Calculer z 0 + z 1 + z 2 . Interpréter géométriquement ce résultat (que peut-on dire du centre de gravité du triangle ABC ?). Soit D le point d'affixe z D = z 1 × z 2 . Calculer z D sous forme algébrique. Montrer que D est le milieu de [AC] si et seulement si z A + z C = 2 z D . Vérifier si cette condition est satisfaite ou non.

Racines cubiques et géométrie dans le plan complexe — Bac Cameroun 2023

Intermédiaire Inspiré BAC Cameroun

Exercice inspiré d'un BAC Cameroun

Source-style : BAC Cameroun Série C 2023

Inspiré du style BAC Cameroun Série C 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

Exercice 4 — Racines cubiques et géométrie complexe

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal (O, ū, v̄), on note A, B, C les points d'affixes respectives $z_{A}$ , $z_{B}$ , $z_{C}$ .

Résoudre dans $C$ l'équation $z^{3} = - 8$ . On exprimera les trois racines sous formes exponentielle et algébrique.
On note $z_{0} = - 2$ , $z_{1}$ et $z_{2}$ les trois racines trouvées. Placer les points A, B, C d'affixes $z_{0}$ , $z_{1}$ , $z_{2}$ dans le plan complexe. Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier à l'aide des modules et arguments.
Calculer $z_{0} + z_{1} + z_{2}$ . Interpréter géométriquement ce résultat (que peut-on dire du centre de gravité du triangle ABC ?).
Soit D le point d'affixe $z_{D} = z_{1} \times z_{2}$ . Calculer $z_{D}$ sous forme algébrique. Montrer que D est le milieu de [AC] si et seulement si $z_{A} + z_{C} = 2 z_{D}$ . Vérifier si cette condition est satisfaite ou non.

Indices

— clique pour révéler

1 Indice 1

Pour résoudre $z^3 = -8$, commence par écrire $-8$ sous forme exponentielle : $-8 = 8e^{i\pi}$. Ensuite, utilise la formule des racines $n$-ièmes pour trouver les trois solutions avec $k \in \{0, 1, 2\}$.

2 Indice 2

Les trois racines ont toutes le même module $r = \sqrt[3]{8} = 2$. Leurs arguments sont espacés de $\dfrac{2\pi}{3}$ : calcule $\dfrac{\pi + 2k\pi}{3}$ pour $k=0, 1, 2$, puis convertis chaque forme exponentielle en forme algébrique.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Demander à Prof Hicham

La méthode — par où commencer

Pour résoudre $z^{3} = - 8$ , commence par écrire $- 8$ sous forme exponentielle : $- 8 = 8 e^{iπ}$ . Ensuite, utilise la formule des racines $n$ -ièmes pour trouver les trois solutions avec $k \in {0, 1, 2}$ .

Les trois racines ont toutes le même module $r = 38 = 2$ . Leurs arguments sont espacés de $\frac{2 π}{3}$ : calcule $\frac{π + 2 k π}{3}$ pour $k = 0, 1, 2$ , puis convertis chaque forme exponentielle en forme algébrique.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

Continue sur la même notion

Exercice Terminé? 🎉

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points

Équation du second degré dans ℂ et racines complexes — Bac Cameroun 2023 Tous les exercices du chapitre Forme trigonométrique de z = 1 + i et calcul de z⁸

Racines cubiques et géométrie dans le plan complexe — Bac Cameroun 2023

Énoncé

Indices

La méthode — par où commencer

Correction détaillée

Débloque le corrigé complet

Exercice Terminé? 🎉

Racines cubiques et géométrie dans le plan complexe — Bac Cameroun 2023

Énoncé

Indices

La méthode — par où commencer

Correction détaillée

Débloque le corrigé complet

Exercice Terminé? 🎉

Valider votre réponse

Tu as vu 5 exercices aujourd'hui 🎯