Exercice 3 — Forme trigonométrique et formule de Moivre On considère le nombre complexe z = 1 + i . Déterminer le module ∣ z ∣ et un argument θ de z . En déduire la forme trigonométrique puis la forme exponentielle de z . En utilisant la formule de Moivre, exprimer z 8 sous forme algébrique. Vérifier ce résultat par calcul direct. On pose w = 1 + i 1 + i 3 . Calculer ∣ w ∣ et ar g ( w ) . En déduire la forme exponentielle de w , puis exprimer w sous forme algébrique et vérifier la cohérence. Montrer que pour tout entier naturel n , on a : Re (( 1 + i ) n ) = 2 n /2 × cos ( 4 nπ ) et en déduire la valeur de Re (( 1 + i ) 10 ) .

Forme trigonométrique de z = 1 + i et calcul de z⁸

Intermédiaire Inspiré BAC Cameroun

Exercice inspiré d'un BAC Cameroun

Source-style : BAC Cameroun Série C 2023

Inspiré du style BAC Cameroun Série C 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Exercice 3 — Forme trigonométrique et formule de Moivre

On considère le nombre complexe $z = 1 + i$ .

Déterminer le module $∣ z ∣$ et un argument $θ$ de $z$ . En déduire la forme trigonométrique puis la forme exponentielle de $z$ .
En utilisant la formule de Moivre, exprimer $z^{8}$ sous forme algébrique. Vérifier ce résultat par calcul direct.
On pose $w = \frac{1 + i 3}{1 + i}$ . Calculer $∣ w ∣$ et $ar g (w)$ . En déduire la forme exponentielle de $w$ , puis exprimer $w$ sous forme algébrique et vérifier la cohérence.
Montrer que pour tout entier naturel $n$ , on a :
$Re ((1 + i)^{n}) = 2^{n /2} \times cos (\frac{nπ}{4})$
et en déduire la valeur de $Re ((1 + i)^{10})$ .

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