Transformation géométrique et lieu de points dans ℂ

Exercice 5 — Transformation géométrique complexe

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal (O, ū, v̄), on considère la transformation f qui à tout point M d'affixe z (z $\ne$ i) associe le point M' d'affixe z' définie par :

$z^{\prime }=\frac{z+1}{z-i}$

1. Montrer que f est bien définie pour tout $z\in \mathbb{C}$ avec $z\ne i$. Calculer l'affixe du point image de A(affixe 0), B(affixe 1), C(affixe −1) et D(affixe 2i).
2. Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tels que $z^{\prime }$ soit un réel. On exprimera la condition sur les parties réelle et imaginaire de z.
3. Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tels que $|z^{\prime }|=1$. Montrer que cet ensemble est un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
4. On pose $z=x+iy$ avec $x,y\in \mathbb{R}$. Montrer que si $z^{\prime }=a+bi$, alors :
   $a=\frac{x^2+y^2+x-y-1+\dots }{\dots }$
   (Effectuer le calcul complet de la partie réelle de z' en fonction de x et y.)
   En déduire les points fixes de f, c'est-à-dire les points M tels que $z^{\prime }=z$.