Nombres complexes : racines cubiques, suite et géométrie avancée

Exercice 3 — Racines de l'unité, suite complexe et lieu géométrique

On note $j=e^{2i\pi /3}$.

1. Partie A — Racines cubiques de l'unité

   1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^3=1$. On notera les trois racines $1$, $j$ et $j^2$.
   2. Montrer que $j^2=e^{-2i\pi /3}$, puis écrire $j$ et $j^2$ sous forme algébrique.
   3. Montrer que $1+j+j^2=0$. En déduire la valeur de $(1+j)(1+j^2)$.
   4. Calculer le module et un argument de $\frac{j-1}{j+1}$, en justifiant soigneusement chaque étape.

2. Partie B — Suite de nombres complexes

   On définit la suite $(z_n)$ par : $z_0=1$ et, pour tout entier $n\in \mathbb{N}$, $z_{n+1}=(1+i\sqrt{3})\times z_n+2$.

   1. Montrer que la suite $(z_n-a)$ est géométrique, où $a$ est un complexe à déterminer (on cherche $a$ tel que $z_{n+1}-a=(1+i\sqrt{3})(z_n-a)$).
   2. Exprimer $z_n$ en fonction de $n$.
   3. Calculer $|z_n|$ et $\arg (z_n-a)$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. Que peut-on dire de la suite $(|z_n|)$ ?

3. Partie C — Lieu géométrique

   Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$, on considère les points fixes $A$ et $B$ d'affixes respectives $z_A=2$ et $z_B=2i$. Pour un point $M$ d'affixe $z\in \mathbb{C}$ (avec $z\ne 2$ et $z\ne 2i$), on pose :

   $Q=\frac{z-2i}{z-2}$

   1. Montrer que $Q$ est un réel si et seulement si $M$ appartient à une droite $\Delta$ que l'on déterminera.
   2. Montrer que $|Q|=1$ si et seulement si $M$ appartient à un cercle $\mathcal{C}$ que l'on déterminera (centre et rayon).
   3. Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $\arg (Q)=\frac{\pi }{2}$ (modulo $2\pi$). Quel objet géométrique obtient-on ?