Nombres complexes : forme algébrique et équation du second degré

Exercice 1 — Forme algébrique et équations dans $\mathbb{C}$

On considère le nombre complexe $z_0=3-4i$.

1. Partie A — Calculs de base

   1. Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de $z_0$.
   2. Calculer le module $|z_0|$ et le conjugué ${\bar{z}}_0$.
   3. Calculer $z_0\times {\bar{z}}_0$ et vérifier que le résultat est cohérent avec la définition du module.

2. Partie B — Quotient

   Soit le nombre complexe $w=\frac{2+i}{z_0}$.

   1. Écrire $w$ sous forme algébrique $a+bi$, avec $a,b\in \mathbb{R}$.
   2. Calculer $|w|$ en utilisant les propriétés du module (sans repasser par la forme algébrique).

3. Partie C — Équation du second degré

   On considère l'équation dans $\mathbb{C}$ : $z^2-6z+25=0$.

   1. Calculer le discriminant $\Delta$ de cette équation.
   2. Résoudre l'équation dans $\mathbb{C}$ et exprimer les solutions sous forme algébrique.
   3. Vérifier que $z_0=3-4i$ est l'une des solutions.