صيغة موافر والتحويلات المثلثية

التمرين 4 — صيغة موافر والمبرهنة الخطية

الجزء الأول — تطبيق صيغة موافر

1. باستعمال نشر $(\cos \theta +i\sin \theta {)}^3$ بواسطة صيغة ثنائي الحد لنيوتن، ثم بتطبيق صيغة موافر، أثبت المتطابقتين التاليتين:
   $\cos (3\theta )=4{\cos }^3\theta -3\cos \theta$
   $\sin (3\theta )=3\sin \theta -4{\sin }^3\theta$
2. استنتج القيمة المضبوطة لـ $\cos (\pi /9)$ علما أن $\cos (\pi /3)=1/2$. (نعتبر أن $x=\cos (\pi /9)$ هو الجذر الحقيقي المناسب للمعادلة $8x^3-6x-1=0$).

الجزء الثاني — حساب المجموع

3. ليكن $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. باعتبار الجزء الحقيقي للمجموع $S=\sum _{k=0}^n{e}^{ik\theta }$ (من أجل $\theta \ne 2k\pi$)، بين أن:
   $\sum _{k=0}^n\cos (k\theta )=\text{Re}(S)=\frac{\sin \left(\frac{(n+1)\theta }{2}\right)\times \cos \left(\frac{n\theta }{2}\right)}{\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)}$