التمرين 6 — متتالية عقدية، حلزون وتقارب نعتبر المتتالية ( z n ) من الأعداد العقدية المعرفة بما يلي: z 0 = 1 ولكل n ∈ N ، z n + 1 = 2 1 + i × z n + 1 . نضع q = 2 1 + i . احسب ∣ q ∣ و ar g ( q ) . استنتج الشكل الأسي للعدد q . بين أن المتتالية ( z n ) هي متتالية هندسية-حسابية. أوجد النقطة الصامدة L لعلاقة الترجع، أي العدد العقدي L بحيث L = q L + 1 . نضع w n = z n − L . بين أن ( w n ) متتالية هندسية أساسها q . استنتج تعبير z n بدلالة n . عبر عن ∣ z n ∣ و ar g ( z n − L ) بدلالة n . فسر هندسيا: ماذا تمثل النقط M n ذات اللحق z n في المستوى العقدي؟ هل المتتالية ( z n ) متقاربة؟ علل جوابك. إذا كانت كذلك، أعط نهايتها.

متتاليات الأعداد العقدية واللوالب

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Source-style : BAC France Spé Maths 2024

Inspiré du style BAC France Spé Maths 2024

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

التمرين 6 — متتالية عقدية، حلزون وتقارب

نعتبر المتتالية $(z_{n})$ من الأعداد العقدية المعرفة بما يلي:
$z_{0} = 1$ ولكل $n \in N$ ، $z_{n + 1} = \frac{1 + i}{2} \times z_{n} + 1$ .

نضع $q = \frac{1 + i}{2}$ .

احسب $∣ q ∣$ و $ar g (q)$ . استنتج الشكل الأسي للعدد $q$ .
بين أن المتتالية $(z_{n})$ هي متتالية هندسية-حسابية. أوجد النقطة الصامدة $L$ لعلاقة الترجع، أي العدد العقدي $L$ بحيث $L = q L + 1$ .
نضع $w_{n} = z_{n} - L$ . بين أن $(w_{n})$ متتالية هندسية أساسها $q$ . استنتج تعبير $z_{n}$ بدلالة $n$ .
عبر عن $∣ z_{n} ∣$ و $ar g (z_{n} - L)$ بدلالة $n$ . فسر هندسيا: ماذا تمثل النقط $M_{n}$ ذات اللحق $z_{n}$ في المستوى العقدي؟
هل المتتالية $(z_{n})$ متقاربة؟ علل جوابك. إذا كانت كذلك، أعط نهايتها.

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

بالنسبة للسؤال 1، احسب $|q|$ باستعمال $|1+i| = \sqrt{2}$، و $\arg(q)$ انطلاقا من $\arg(1+i) = \dfrac{\pi}{4}$.

2 الإرشاد 2

لإيجاد النقطة الثابتة $L$، حل المعادلة $L = qL + 1$ بعزل $L$ (ضع $L$ عاملا مشتركا).

3 الإرشاد 3

بالنسبة للسؤال 3، احسب $w_{n+1} = z_{n+1} - L$ باستعمال $z_{n+1} = qz_n+1$ و $L = qL+1$ لإظهار $q(z_n - L)$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

بالنسبة للسؤال 1، احسب $∣ q ∣$ باستعمال $∣1 + i ∣ = 2$ ، و $ar g (q)$ انطلاقا من $ar g (1 + i) = \frac{π}{4}$ .

لإيجاد النقطة الثابتة $L$ ، حل المعادلة $L = q L + 1$ بعزل $L$ (ضع $L$ عاملا مشتركا).

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points