Transformation géométrique définie par un nombre complexe

Exercice 5 — Transformation du plan et nombres complexes

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct (O, u⃗, v⃗). À tout point M d'affixe $z\in \mathbb{C}$, on associe le point M' d'affixe $z^{\prime }$ défini par :

$z^{\prime }=(1+i\sqrt{3})\cdot z+2-2i\sqrt{3}$

On note f la transformation du plan ainsi définie.

1. Écrire $1+i\sqrt{3}$ sous forme exponentielle. En déduire le module et l'argument de ce nombre complexe.
2. Montrer que f est une similitude directe. Préciser son rapport k et son angle $\alpha$.
3. Déterminer l'affixe $z_{\Omega }$ du point fixe $\Omega$ de f (c'est-à-dire le point vérifiant $f(\Omega )=\Omega$).
4. On note A le point d'affixe $z_A=1$ et B le point d'affixe $z_B=-1$.
   a. Calculer les affixes $z_A^{\prime }$ et $z_B^{\prime }$ des images A' et B' de A et B par f.
   b. Calculer les distances $O{A}^{\prime }$, $O{B}^{\prime }$ et $A^{\prime }{B}^{\prime }$.
   c. Vérifier que $A^{\prime }{B}^{\prime }=k\times AB$.
5. Montrer que les points A, B, A', B' sont cocycliques (sur un même cercle). On précisera le centre et le rayon de ce cercle.