Suites de nombres complexes et spirales

Exercice 6 — Suite complexe, spirale et convergence

On considère la suite $(z_n)$ de nombres complexes définie par :
$z_0=1$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $z_{n+1}=\frac{1+i}{\sqrt{2}}\times z_n+1$.

On pose $q=\frac{1+i}{\sqrt{2}}$.

1. Calculer $|q|$ et $\arg (q)$. En déduire la forme exponentielle de $q$.
2. Montrer que la suite $(z_n)$ est une suite géométrico-arithmétique. Trouver le point fixe $L$ de la relation de récurrence, c'est-à-dire le complexe $L$ tel que $L=qL+1$.
3. On pose $w_n=z_n-L$. Montrer que $(w_n)$ est une suite géométrique de raison $q$. En déduire l'expression de $z_n$ en fonction de $n$.
4. Exprimer $|z_n|$ et $\arg (z_n-L)$ en fonction de $n$. Interpréter géométriquement : que décrivent les points $M_n$ d'affixe $z_n$ dans le plan complexe ?
5. La suite $(z_n)$ converge-t-elle ? Justifier. Si oui, donner sa limite.