التمرين 3 — صيغة موافر وحساب المثلثات نذكر بصيغة موافر: لكل عدد صحيح طبيعي n ∈ N ولكل عدد حقيقي θ ، ( cos θ + i sin θ ) n = cos ( n θ ) + i sin ( n θ ) . الجزء A — تعابير cos ( 3 θ ) و sin ( 3 θ ) باستخدام صيغة ثنائي الحد لنيوتن لنشر ( cos θ + i sin θ ) 3 ، ثم بتطبيق صيغة موافر، أثبت المتساويتين التاليتين: • cos ( 3 θ ) = 4 cos 3 θ − 3 cos θ • sin ( 3 θ ) = 3 sin θ − 4 sin 3 θ الجزء B — حل معادلة مثلثية باستخدام نتيجة الجزء A، حل في R المعادلة: 4 cos 3 θ − 3 cos θ = 1/2 . الجزء C — تطبيق عددي ليكن z = cos ( π /9 ) + i sin ( π /9 ) . (a) احسب z 3 باستخدام صيغة موافر. (b) استنتج القيمة المضبوطة لـ 4 cos 3 ( π /9 ) − 3 cos ( π /9 ) .

صيغة موافر، الخطية والمتطابقات المثلثية

Intermédiaire Inspiré BAC Sénégal

Exercice inspiré d'un BAC Sénégal

Source-style : BAC Sénégal Série S 2023

Inspiré du style BAC Sénégal Série S 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

التمرين 3 — صيغة موافر وحساب المثلثات

نذكر بصيغة موافر: لكل عدد صحيح طبيعي n $\in$ $N$ ولكل عدد حقيقي $θ$ ،
$(cos θ + i sin θ)^{n}$ = $cos (n θ) + i sin (n θ)$ .

الجزء A — تعابير $cos (3 θ)$ و $sin (3 θ)$
باستخدام صيغة ثنائي الحد لنيوتن لنشر $(cos θ + i sin θ)^{3}$ ، ثم بتطبيق صيغة موافر، أثبت المتساويتين التاليتين:
• $cos (3 θ) = 4 cos^{3} θ - 3 cos θ$
• $sin (3 θ) = 3 sin θ - 4 sin^{3} θ$
الجزء B — حل معادلة مثلثية
باستخدام نتيجة الجزء A، حل في $R$ المعادلة:
$4 cos^{3} θ - 3 cos θ = 1/2$ .
الجزء C — تطبيق عددي
ليكن $z = cos (π /9) + i sin (π /9)$ .
(a) احسب $z^{3}$ باستخدام صيغة موافر.
(b) استنتج القيمة المضبوطة لـ $4 cos^{3} (π /9) - 3 cos (π /9)$ .

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points