Racines cubiques de w = -4 + 4i√3 et polygone régulier

Exercice 4 — Racines cubiques et polygone régulier

On cherche les racines cubiques du nombre complexe $w=-4+4i\sqrt{3}$, c'est-à-dire les solutions dans $\mathbb{C}$ de l'équation $z^3=w$.

1. Mettre $w$ sous forme exponentielle $r\cdot e^{i\theta }$, en précisant $r>0$ et $\theta \in ]-\pi ;\pi ]$.
2. Déterminer les trois racines cubiques $z_0,z_1,z_2$ de $w$ sous forme exponentielle, puis sous forme algébrique exacte.
3. Soit A, B, C les points du plan d'affixes respectives $z_0,z_1,z_2$.
   (a) Montrer que A, B, C sont les sommets d'un triangle équilatéral en calculant $|z_1-z_0|$, $|z_2-z_1|$ et $|z_0-z_2|$.
   (b) Calculer l'affixe du centre de gravité G du triangle ABC. Que remarque-t-on ?
4. Calculer $z_0+z_1+z_2$ algébriquement et interpréter le résultat géométriquement.