Formule de Moivre — linéarisation et identités trigonométriques — Bac Sénégal 2023

Exercice 3 — Formule de Moivre et trigonométrie

On rappelle la formule de Moivre : pour tout entier n $\in$ $\mathbb{N}$ et tout réel $\theta$,
$(\cos \theta +i\sin \theta {)}^n$ = $\cos (n\theta )+i\sin (n\theta )$.

1. Partie A — Expressions de $\cos (3\theta )$ et $\sin (3\theta )$

   En développant $(\cos \theta +i\sin \theta {)}^3$ par la formule du binôme de Newton, puis en appliquant la formule de Moivre, établir les identités :
   • $\cos (3\theta )=4{\cos }^3\theta -3\cos \theta$
   • $\sin (3\theta )=3\sin \theta -4{\sin }^3\theta$

2. Partie B — Résolution d'une équation trigonométrique

   En utilisant le résultat de la Partie A, résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation :
   $4{\cos }^3\theta -3\cos \theta =1/2$.

3. Partie C — Application numérique

   Soit $z=\cos (\pi /9)+i\sin (\pi /9)$.
   (a) Calculer $z^3$ en utilisant la formule de Moivre.
   (b) En déduire la valeur exacte de $4{\cos }^3(\pi /9)-3\cos (\pi /9)$.