لتكن z  = 1 عددًا عقديًا. أثبت أنه لكل n ∈ N ∗ : 1 + z + z 2 + ⋯ + z n − 1 = z − 1 z n − 1 a) تحقق من أنه لكل x ∈ R : e i x − 1 = 2 i sin 2 x e i 2 x . b) من أجل n ∈ N ∗ و x ∈ R (مع e i x  = 1 )، احسب Z n = 1 + e i x + e 2 i x + ⋯ + e ( n − 1 ) i x ، ثم استنتج X n = k = 0 ∑ n − 1 cos ( k x ) و Y n = k = 0 ∑ n − 1 sin ( k x ) .

Somme géométrique et sommes trigonométriques

Difficile

لتكن $z \neq = 1$ عددًا عقديًا. أثبت أنه لكل $n \in N^{*}$ :
$1 + z + z^{2} + \dots + z^{n - 1} = \frac{z ^{n} - 1}{z - 1}$
a) تحقق من أنه لكل $x \in R$ : $e^{i x} - 1 = 2 i sin \frac{x}{2} e^{i \frac{x}{2}}$ . b) من أجل $n \in N^{*}$ و $x \in R$ (مع $e^{i x} \neq = 1$ )، احسب $Z_{n} = 1 + e^{i x} + e^{2 i x} + \dots + e^{(n - 1) i x}$ ، ثم استنتج $X_{n} = k = 0 \sum n - 1 cos (k x)$ و $Y_{n} = k = 0 \sum n - 1 sin (k x)$ .

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

في 1)، حلل $z^n-1$ بإخراج $(z-1)$ بتطوير الجداء $(z-1)(1+z+\\cdots+z^{n-1})$.

2 الإرشاد 2

في 2أ)، حلل $e^{ix}-1$ بإخراج $e^{ix/2}$ واستعمل $e^{i\\theta}-e^{-i\\theta}=2i\\sin\\theta$.

3 الإرشاد 3

في 2ب)، طبق صيغة 1) مع $z=e^{ix}$، بسط باستعمال نتيجة 2أ)، ثم افصل الجزء الحقيقي عن الجزء التخيلي.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

في 1)، حلل $z^{n} - 1$ بإخراج $(z - 1)$ بتطوير الجداء $(z - 1) (1 + z + c d o t s + z^{n - 1})$ .

في 2أ)، حلل $e^{i x} - 1$ بإخراج $e^{i x /2}$ واستعمل $e^{i t h e t a} - e^{- i t h e t a} = 2 i s in t h e t a$ .

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points