القانون الطبيعي ومجال الثقة

التمرين 4 — إنتاج الحليب واستطلاع الرأي بفاس

تؤكد تعاونية حليب بمنطقة فاس أن كمية الحليب المنتجة يوميًا من أبقارها تتبع قانونًا عاديًا بمتوسط $\mu =18$ لترًا وانحرافًا معياريًا $\sigma =2,5$ لترًا.

الجزء A — القانون العادي

نرمز بـ X لكمية الحليب (باللتر) التي تنتجها بقرة مختارة عشوائيًا.

1. عبر عن $P(15\le X\le 21)$ بدلالة دالة التوزيع $\Phi$ للقانون العادي الممركز والمختزل $N(0,1)$، ثم احسب هذا الاحتمال.

2. احسب $P(X>22,5)$. فسر هذه النتيجة في السياق.

3. حدد قيمة العدد الحقيقي $a>0$ بحيث $P(|X-18|\le a)=0,99$.

الجزء B — القانون الثنائي والتقريب

نقول إن البقرة "عالية الإنتاج" إذا أنتجت أكثر من 22,5 لترًا يوميًا. حسب الجزء A، الاحتمال أن تكون بقرة عالية الإنتاج يرمز له بـ $p_0$ (القيمة المحسوبة في السؤال A.2).

نأخذ عينة من 100 بقرة. نرمز بـ Z لعدد الأبقار عالية الإنتاج في هذه العينة.

4. حدد القانون الذي يتبعه Z واحسب $E(Z)$ و $\sigma (Z)$ (قرب إلى $10^{-2}$).

5. باستخدام التقريب بالقانون العادي، احسب $P(Z\ge 5)$. قرب إلى $10^{-4}$.

الجزء C — مجال الثقة

يرغب طبيب بيطري مستقل في تقدير النسبة الحقيقية p للأبقار عالية الإنتاج في التعاونية. يفحص عينة من 200 بقرة ويلاحظ أن 14 منها عالية الإنتاج.

6. احسب التكرار الملاحظ f.

7. أنشئ مجال ثقة بمستوى 95% للنسبة p. استنتج بخصوص تأكيد التعاونية (التي تؤكد أن $p_0\approx 0,0228$).

معطيات: $\Phi (1,2)=0,8849$ ؛ $\Phi (1,8)=0,9641$ ؛ $\Phi (1,96)\approx 0,975$ ؛ $\Phi (2,58)\approx 0,995$.