Un jeu de hasard proposé lors d'une fête à Marrakech fonctionne de la manière suivante : un joueur lance 4 dés équilibrés simultanément. On appelle X le nombre de dés affichant le chiffre 6. Montrer que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. Calculer P ( X = 0 ) , P ( X = 1 ) , P ( X ≥ 2 ) . (Donner des valeurs exactes puis des valeurs approchées à 1 0 − 3 .) Les règles du jeu sont les suivantes : Si X = 0 : le joueur perd 10 dirhams. Si X = 1 : le joueur gagne 5 dirhams. Si X ≥ 2 : le joueur gagne 30 dirhams. Soit G la variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur. Dresser la loi de probabilité de G. Calculer E ( G ) . Ce jeu est-il favorable au joueur ? Justifier.

Variable aléatoire, loi binomiale et espérance de gain

Intermédiaire Inspiré BAC Côte d'Ivoire

Exercice inspiré d'un BAC Côte d'Ivoire

Source-style : BAC Côte d'Ivoire Série C 2023

Inspiré du style BAC Côte d'Ivoire Série C 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

Un jeu de hasard proposé lors d'une fête à Marrakech fonctionne de la manière suivante : un joueur lance 4 dés équilibrés simultanément. On appelle X le nombre de dés affichant le chiffre 6.

Montrer que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Calculer $P (X = 0)$ , $P (X = 1)$ , $P (X \geq 2)$ . (Donner des valeurs exactes puis des valeurs approchées à $1 0^{- 3}$ .)
Les règles du jeu sont les suivantes :
- Si $X = 0$ : le joueur perd 10 dirhams.
- Si $X = 1$ : le joueur gagne 5 dirhams.
- Si $X \geq 2$ : le joueur gagne 30 dirhams.
Soit G la variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur. Dresser la loi de probabilité de G.
Calculer $E (G)$ . Ce jeu est-il favorable au joueur ? Justifier.

Indices

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1 Indice 1

Pense à identifier une expérience de Bernoulli répétée : chaque dé a deux issues possibles (obtenir 6 ou non), avec la même probabilité $p = \dfrac{1}{6}$ à chaque lancer. Combien de répétitions indépendantes as-tu ?

2 Indice 2

Pour calculer $P(X = 0)$, utilise la formule de la loi binomiale : $P(X = k) = C_n^k \times p^k \times (1-p)^{n-k}$. Ici $k=0$, donc tu cherches la probabilité que les 4 dés n'affichent pas 6. Calcule $(\dfrac{5}{6})^4$.

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Pense à identifier une expérience de Bernoulli répétée : chaque dé a deux issues possibles (obtenir 6 ou non), avec la même probabilité $p = \frac{1}{6}$ à chaque lancer. Combien de répétitions indépendantes as-tu ?

Pour calculer $P (X = 0)$ , utilise la formule de la loi binomiale : $P (X = k) = C_{n}^{k} \times p^{k} \times (1 - p)^{n - k}$ . Ici $k = 0$ , donc tu cherches la probabilité que les 4 dés n'affichent pas 6. Calcule $(\frac{5}{6})^{4}$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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