Une usine de Casablanca produit des composants électroniques. On sait que 5% des composants produits sont défectueux. Un contrôleur prélève un échantillon de 20 composants au hasard. On note X la variable aléatoire représentant le nombre de composants défectueux dans cet échantillon. On admet que X suit une loi binomiale. Préciser les paramètres de la loi binomiale suivie par X . Calculer E ( X ) et σ ( X ) . Calculer la probabilité qu'il n'y ait aucun composant défectueux dans l'échantillon. Arrondir au millième. Calculer la probabilité qu'il y ait au plus 2 composants défectueux. Arrondir au millième. Calculer la probabilité qu'il y ait au moins 1 composant défectueux. Arrondir au millième. On donne : 0 , 9 5 20 ≈ 0 , 358 ; 0 , 9 5 19 ≈ 0 , 377 ; 0 , 9 5 18 ≈ 0 , 397 .

Loi binomiale – Contrôle qualité dans une usine

Facile Inspiré BAC Côte d'Ivoire

Exercice inspiré d'un BAC Côte d'Ivoire

Source-style : BAC Côte d'Ivoire Série C 2023

Inspiré du style BAC Côte d'Ivoire Série C 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

Une usine de Casablanca produit des composants électroniques. On sait que $5%$ des composants produits sont défectueux. Un contrôleur prélève un échantillon de $20$ composants au hasard.

On note $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de composants défectueux dans cet échantillon. On admet que $X$ suit une loi binomiale.

Préciser les paramètres de la loi binomiale suivie par $X$ . Calculer $E (X)$ et $σ (X)$ .
Calculer la probabilité qu'il n'y ait aucun composant défectueux dans l'échantillon. Arrondir au millième.
Calculer la probabilité qu'il y ait au plus $2$ composants défectueux. Arrondir au millième.
Calculer la probabilité qu'il y ait au moins $1$ composant défectueux. Arrondir au millième.

On donne : $0, 9 5^{20} \approx 0, 358$ ; $0, 9 5^{19} \approx 0, 377$ ; $0, 9 5^{18} \approx 0, 397$ .

Indices

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1 Indice 1

Identifie d'abord les paramètres de la loi binomiale : combien de composants tu tires ($n$) et quelle est la probabilité qu'un composant soit défectueux ($p$) ? Une fois trouvés, utilise les formules $E(X) = n \times p$ et $\sigma(X) = \sqrt{n \times p \times (1-p)}$.

2 Indice 2

Pour calculer $P(X=0)$, utilise la formule $P(X=k) = C_{n}^{k} \times p^k \times (1-p)^{n-k}$ avec $k=0$. Pour $P(X \le 2)$, additionne $P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$. Pour $P(X \ge 1)$, pense à l'événement complémentaire : $P(X \ge 1) = 1 - P(X=0)$.

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Identifie d'abord les paramètres de la loi binomiale : combien de composants tu tires ( $n$ ) et quelle est la probabilité qu'un composant soit défectueux ( $p$ ) ? Une fois trouvés, utilise les formules $E (X) = n \times p$ et $σ (X) = n \times p \times (1 - p)$ .

Pour calculer $P (X = 0)$ , utilise la formule $P (X = k) = C_{n}^{k} \times p^{k} \times (1 - p)^{n - k}$ avec $k = 0$ . Pour $P (X \leq 2)$ , additionne $P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2)$ . Pour $P (X \geq 1)$ , pense à l'événement complémentaire : $P (X \geq 1) = 1 - P (X = 0)$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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