Chaîne de production et décision statistique — Marrakech

Une entreprise de Marrakech produit des articles artisanaux. Le directeur affirme que le taux de défauts de production est de p₀ = 0,08. Un auditeur souhaite vérifier cette affirmation.

L'auditeur prélève un échantillon de n = 20 articles de façon indépendante et note X le nombre d'articles défectueux.

1. En admettant que p₀ = 0,08, préciser la loi de X et calculer E(X) et $\sigma (X)$.
2. Calculer $P(X\ge 4)$ sous l'hypothèse p₀ = 0,08. On utilisera le fait que :
   $P(X=0)\approx 0,1887$ ; $P(X=1)\approx 0,3282$ ; $P(X=2)\approx 0,2711$ ; $P(X=3)\approx 0,1414$.
   Arrondir à $10^{-4}$ près.
3. L'auditeur décide de rejeter l'affirmation du directeur si $X\ge 4$. Calculer la probabilité de rejeter à tort l'affirmation du directeur (erreur de première espèce). Commenter.
4. On suppose maintenant que le vrai taux de défauts est p₁ = 0,20. Calculer $P(X\ge 4)$ sous cette nouvelle hypothèse. On admettra que $P(X\le 3)$ sous $B(20;0,2)$ vaut environ 0,4114. Que peut-on conclure sur la pertinence de la règle de décision ?
5. Soit $Y=2X-3$. Calculer $E(Y)$ et $V(Y)$ sous l'hypothèse p₀ = 0,08.