Jeu de loterie et variable aléatoire — Analyse complète

Difficile Inspiré BAC France
Partager
Exercice inspiré d'un BAC France
Source-style : BAC France Spé Maths 2024
Inspiré du style BAC France Spé Maths 2024
Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

Une association caritative de Marrakech organise un jeu de loterie. Chaque participant achète un ticket au prix de 20 dirhams. Dans une urne, on place 5 boules rouges, 3 boules bleues et 2 boules noires. Le joueur tire successivement et sans remise deux boules de l'urne.

Les gains sont les suivants :
— Si les deux boules sont de la même couleur : le joueur gagne 50 dirhams.
— Si les deux boules sont de couleurs différentes et que l'une est noire : le joueur gagne 30 dirhams.
— Dans tous les autres cas : le joueur ne gagne rien.

On note X la variable aléatoire égale au gain net du joueur (gain reçu moins le prix du ticket).

  1. Déterminer les valeurs prises par X et calculer la loi de probabilité de X. On détaillera soigneusement le calcul de chaque probabilité.

  2. Calculer l'espérance mathématique E(X). Le jeu est-il favorable au joueur ? Justifier.

  3. Calculer la variance V(X) et l'écart-type . Arrondir à près.

  4. L'association souhaite que l'espérance du gain net soit nulle (jeu équitable). Si elle modifie uniquement le gain obtenu lorsque les deux boules sont de la même couleur (noté g dirhams), quel doit être le prix du ticket pour que le jeu soit équitable ? On supposera que le prix du ticket reste à 20 dirhams et on cherchera la valeur de g.

Indices

— clique pour révéler
1 Indice 1
Commence par calculer le nombre total de tirages possibles $C(10,2)$, puis distingue les 3 cas : mêmes couleurs, une noire + une autre couleur, une rouge + une bleue.
2 Indice 2
Pour chaque cas, compte les combinaisons favorables (utilise $C(n,2)$ ou des produits comme $2 \times 5$), calcule la probabilité, puis soustrais $20$ dirhams au gain brut pour obtenir le gain net.
3 Indice 3
Pour l'espérance, utilise $E(X) = \sum x_i P(X=x_i)$. Pour la variance, calcule d'abord $E(X^2)$ puis applique $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Demander à Prof Hicham

La méthode — par où commencer

Commence par calculer le nombre total de tirages possibles , puis distingue les 3 cas : mêmes couleurs, une noire + une autre couleur, une rouge + une bleue.

Pour chaque cas, compte les combinaisons favorables (utilise ou des produits comme ), calcule la probabilité, puis soustrais dirhams au gain brut pour obtenir le gain net.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

Exercice Terminé? 🎉

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points

Chaîne de production et décision statistique — Marrakech Tous les exercices du chapitre Fiabilité d'un système et loi binomiale — Réseau électrique