Loi normale et intervalle de confiance — Étude statistique

Exercice 4 — Production de lait et sondage à Fès

Une coopérative laitière de la région de Fès affirme que la quantité de lait produite quotidiennement par ses vaches suit une loi normale de moyenne $\mu =18$ litres et d'écart-type $\sigma =2,5$ litres.

Partie A — Loi normale

On note X la quantité de lait (en litres) produite par une vache choisie au hasard.

1. Exprimer $P(15\le X\le 21)$ en fonction de la fonction de répartition $\Phi$ de la loi normale centrée réduite $N(0,1)$, puis calculer cette probabilité.

2. Calculer $P(X>22,5)$. Interpréter ce résultat dans le contexte.

3. Déterminer la valeur du réel $a>0$ telle que $P(|X-18|\le a)=0,99$.

Partie B — Loi binomiale et approximation

On dit qu'une vache est « haute productrice » si elle produit plus de 22,5 litres par jour. D'après la partie A, la probabilité qu'une vache soit haute productrice est notée $p_0$ (valeur calculée en question A.2).

On prélève un échantillon de 100 vaches. On note Z le nombre de vaches hautes productrices dans cet échantillon.

4. Préciser la loi suivie par Z et calculer $E(Z)$ et $\sigma (Z)$ (arrondir à $10^{-2}$ près).

5. En utilisant l'approximation par la loi normale, calculer $P(Z\ge 5)$. Arrondir à $10^{-4}$ près.

Partie C — Intervalle de confiance

Un vétérinaire indépendant souhaite estimer la proportion réelle p de vaches hautes productrices dans la coopérative. Il examine un échantillon de 200 vaches et observe que 14 sont hautes productrices.

6. Calculer la fréquence observée f.

7. Construire un intervalle de confiance au niveau 95 % pour la proportion p. Conclure quant à l'affirmation de la coopérative (qui affirme $p_0\approx 0,0228$).

On donne : $\Phi (1,2)=0,8849$ ; $\Phi (1,8)=0,9641$ ; $\Phi (1,96)\approx 0,975$ ; $\Phi (2,58)\approx 0,995$.