الاحتمالات الشرطية وقانون متغير عشوائي

التمرين 3 — اختيار طلاب بالرباط

في مدرسة للمهندسين بالرباط، تضم دفعة 60 طالباً موزعين كالتالي:

• 35 طالباً تابعوا مساراً علمياً (S).
• 25 طالباً تابعوا مساراً تكنولوجياً (T).

من بين الطلاب العلميين، 28 طالباً اجتازوا تدريبهم بنجاح. ومن بين الطلاب التكنولوجيين، 15 طالباً اجتازوا تدريبهم بنجاح.

نختار طالباً عشوائياً من الدفعة. نرمز بـ:

• S : « الطالب تابع مساراً علمياً »
• V : « الطالب اجتاز تدريبه بنجاح »

الجزء A — الاحتمالات الشرطية

1. أحسب $P(S)$ و $P(V\cap S)$ و $P(V\cap T)$.

2. استنتج $P(V)$ باستخدام صيغة الاحتمالات الكلية.

3. أحسب $P(S|V)$ وفسر هذه النتيجة.

الجزء B — المتغير العشوائي

نختار الآن، بالتتابع وبدون إحلال، 3 طلاب من بين 60 طالباً. نرمز بـ Y لعدد الطلاب الذين اجتازوا تدريبهم بنجاح من بين الطلاب الثلاثة المختارين.

4. برر أن Y لا يتبع بالضبط قانوناً ثنائي الحد. ومع ذلك، أعطِ قانون ثنائي الحد $B(n,p)$ الذي يمكن أن يستخدم كتقريب، مع تحديد الشروط التي تبرر هذا التقريب.

5. باستخدام هذا التقريب، أحسب $P(Y=2)$. قرّب النتيجة إلى $10^{-4}$.