متغير عشوائي مركب وقانون حداني مركب

التمرين 6 — السحب بإحلال وبدون إحلال من صندوق

يحتوي صندوق على 4 كرات بيضاء و 6 كرات سوداء (10 كرات في المجموع). نسحب كرات متتالية من هذا الصندوق.

الجزء A — السحب بدون إحلال

نسحب بالتتابع و بدون إحلال 3 كرات من الصندوق. نرمز بـ $X$ لعدد الكرات البيضاء المسحوبة.

1. علل لماذا $X$ لا يتبع قانونا حدانيا.

2. حدد قانون الاحتمال للمتغير $X$ بحساب $P(X=k)$ لكل $k\in \{0,1,2,3\}$. (عبر عن الاحتمالات على شكل كسور غير قابلة للاختزال.)

3. تحقق أن مجموع الاحتمالات يساوي 1.

4. احسب $E(X)$ و $V(X)$.

الجزء B — السحب بإحلال والقانون الحداني

نسحب الآن 3 كرات بالتتابع بإحلال. نرمز بـ $Y$ لعدد الكرات البيضاء المسحوبة.

5. علل لماذا $Y$ يتبع قانونا حدانيا وحدد معاملاته. احسب $E(Y)$ و $V(Y)$.

6. قارن $E(X)$ و $E(Y)$ من جهة، و $V(X)$ و $V(Y)$ من جهة أخرى. علق على النتائج.

الجزء C — مخطط متكرر

نكرر تجربة "سحب 3 كرات بإحلال" عددا كبيرا من المرات ($n=90$ تكرارا مستقلا). نرمز بـ $Z$ لعدد التكرارات التي نحصل فيها بالضبط على كرتين بيضاوين.

7. حدد قانون المتغير $Z$. احسب $E(Z)$ و $\sigma (Z)$.

8. باستخدام متراجحة التركيز $P(|Z-E(Z)|\ge 2\sigma (Z))\le 1/4$ (متراجحة Bienaymé-Tchebychev مع $k=2$)، أوجد قيمة عليا لاحتمال أن ينحرف $Z$ عن أمله الرياضي بأكثر من $2\sigma (Z)$.