قانون بواسون ومقارنته بالحدانية

التمرين 5 — أعطال شبكة هاتفية بفاس

تقوم الخدمة التقنية لمشغل هاتفي بفاس بنمذجة عدد الأعطال التي تحدث في شبكته في الساعة بمتغير عشوائي $X$ يتبع قانون بواسون بمعامل $\lambda =3$.

الجزء A — قانون بواسون

1. احسب الاحتمالات التالية (التقريب إلى $10^{-4}$):

• a) $P(X=0)$ : لا يوجد عطل في ساعة واحدة.
• b) $P(X\le 2)$
• c) $P(X\ge 4)$

2. أعط $E(X)$ و $V(X)$. ماذا نلاحظ؟

3. حدد القيمة الصحيحة $k_0$ بحيث يكون $P(X=k_0)$ أعظميا. (نبحث عن $k_0$ بدراسة النسبة $\frac{P(X=k+1)}{P(X=k)}$.)

الجزء B — التقريب بقانون بواسون

نعتبر الآن أنه في كل ثانية، بشكل مستقل عن الثواني الأخرى، يمكن أن يحدث عطل باحتمال $p=\frac{1}{1200}$. نراقب الشبكة لمدة $n=3600$ ثانية (ساعة واحدة). نرمز بـ $Y$ لعدد الأعطال التي حدثت.

4. ما هو القانون الدقيق لـ $Y$؟ حدد معاملاته، أمله وتباينه.

5. برر أن $Y$ يمكن تقريبه بقانون بواسون وحدد معامله. قارن مع $X$.

6. باستخدام تقريب بواسون، احسب $P(Y=0)$ وقارن مع $P(X=0)$ المحصل عليه في A.1.a). استنتج.

الجزء C — تفكير

7. تريد الإدارة أن يكون احتمال حدوث عطل واحد على الأقل في الساعة أقل من 10%. إذا كان معامل قانون بواسون هو $\lambda$، عبر عن $P(X\ge 1)$ بدلالة $\lambda$، ثم حدد ما إذا كان $\lambda =3$ يحقق هذا القيد.