Loi binomiale : modélisation et calcul

Exercice 3 — Semences et germination

Un agronome de la région de Rabat effectue des tests sur des semences. La probabilité qu'une semence germe est $p=0,7$. On suppose que les germinations sont indépendantes d'une semence à l'autre. On plante $n=10$ semences.

On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de semences qui germent.

1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.

2. Calculer les probabilités suivantes (arrondir à $10^{-4}$ près) :

• a) $P(X=7)$
• b) $P(X\ge 9)$
• c) $P(3\le X\le 5)$

3. Calculer l'espérance $E(X)$, la variance $V(X)$ et l'écart-type $\sigma (X)$. Interpréter $E(X)$.

4. On considère la variable aléatoire $Y=2X-3$. Calculer $E(Y)$ et $V(Y)$.

5. L'agronome affirme qu'il est « très probable » que plus de la moitié des semences germent. Calculer $P(X>5)$ pour vérifier cette affirmation. (Arrondir à $10^{-4}$.)