Loi de Poisson et comparaison avec la binomiale

Exercice 5 — Pannes d'un réseau téléphonique à Fès

Le service technique d'un opérateur téléphonique à Fès modélise le nombre de pannes survenant sur son réseau par heure par une variable aléatoire $X$ suivant une loi de Poisson de paramètre $\lambda =3$.

Partie A — Loi de Poisson

1. Calculer les probabilités suivantes (arrondir à $10^{-4}$) :

• a) $P(X=0)$ : aucune panne en une heure.
• b) $P(X\le 2)$
• c) $P(X\ge 4)$

2. Donner $E(X)$ et $V(X)$. Que remarque-t-on ?

3. Déterminer la valeur entière $k_0$ telle que $P(X=k_0)$ soit maximale. (On cherchera $k_0$ en étudiant le rapport $\frac{P(X=k+1)}{P(X=k)}$.)

Partie B — Approximation par la loi de Poisson

On considère maintenant que chaque seconde, indépendamment des autres, une panne peut survenir avec une probabilité $p=\frac{1}{1200}$. On observe le réseau pendant $n=3600$ secondes (une heure). On note $Y$ le nombre de pannes survenues.

4. Quelle est la loi exacte de $Y$ ? Préciser ses paramètres, son espérance et sa variance.

5. Justifier que $Y$ peut être approché par une loi de Poisson et préciser son paramètre. Comparer avec $X$.

6. En utilisant l'approximation de Poisson, calculer $P(Y=0)$ et comparer avec $P(X=0)$ obtenu en A.1.a). Conclure.

Partie C — Réflexion

7. La direction souhaite que la probabilité d'avoir au moins une panne par heure soit inférieure à 10 %. Si le paramètre de la loi de Poisson est $\lambda$, exprimer $P(X\ge 1)$ en fonction de $\lambda$, puis déterminer si $\lambda =3$ satisfait cette contrainte.