Maximum de la probabilité binomiale pₖ

نص التمرين

لیكن $n$ عددًا طبیعیًا بحیث $n\ge 20$. یحتوي صندوق على $10$ كرات بیضاء و $(n-10)$ كرة سوداء، جمیعها غیر قابلة للتمییز باللمس. نسحب كرة، نسجل لونها، نعیدها، ونكرر التجربة $n$ مرة. نرمز بـ $p_k$ لاحتمال الحصول على $k$ كرة بیضاء بالضبط ($0\le k\le n$).

1. عبّر عن $p_k$ بدلالة $n$ و $k$.

2. من أجل $0\le k\le n-1$، نضع $u_k=\frac{p_{k+1}}{p_k}$. بیّن أن $u_k=\frac{n-k}{k+1}\cdot \frac{10}{n-10}$.

3. بیّن التكافؤات $0\le k\le 9⟺u_k\ge 1$ و $10\le k\le n-1⟺u_k\le 1$.

4. استنتج أكبر قیمة $M$ لـ $p_k$ من أجل $k\in \{0,1,\dots ,n\}$، وبیّن أن $M=\frac{n!}{n^n}\cdot \frac{10^{10}}{10!}\cdot \frac{(n-10{)}^{n-10}}{(n-10)!}$.