بيّن أن B = ( 1 + i , 1 − i ) عائلة حرة في الفضاء الشعاعي الحقيقي ( C , + , ⋅ ) . في الفضاء الشعاعي ( F ( R , R ) , + , ⋅ ) نضع f 1 ( x ) = e 2 x ، f 2 ( x ) = e x و f 3 ( x ) = e 3 x . بيّن أن B = ( f 1 , f 2 , f 3 ) عائلة حرة.

Deux familles libres : nombres complexes et exponentielles

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بيّن أن $B = (1 + i, 1 - i)$ عائلة حرة في الفضاء الشعاعي الحقيقي $(C, +, \cdot)$ .
في الفضاء الشعاعي $(F (R, R), +, \cdot)$ نضع $f_{1} (x) = e^{2 x}$ ، $f_{2} (x) = e^{x}$ و $f_{3} (x) = e^{3 x}$ . بيّن أن $B = (f_{1}, f_{2}, f_{3})$ عائلة حرة.

إرشادات

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1 الإرشاد 1

Pour montrer qu'une famille est libre, écris la combinaison linéaire $\alpha_1(1+i) + \alpha_2(1-i) = 0$ et sépare la partie réelle de la partie imaginaire. Que peux-tu dire sur chacune ?

2 الإرشاد 2

Pour les fonctions exponentielles, pose $\alpha_1 e^{2x} + \alpha_2 e^{x} + \alpha_3 e^{3x} = 0$ pour tout $x$. Essaie de diviser par $e^{3x}$ puis fais tendre $x$ vers $+\infty$ pour éliminer certains termes.

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Pour montrer qu'une famille est libre, écris la combinaison linéaire $α_{1} (1 + i) + α_{2} (1 - i) = 0$ et sépare la partie réelle de la partie imaginaire. Que peux-tu dire sur chacune ?

Pour les fonctions exponentielles, pose $α_{1} e^{2 x} + α_{2} e^{x} + α_{3} e^{3 x} = 0$ pour tout $x$ . Essaie de diviser par $e^{3 x}$ puis fais tendre $x$ vers $+ \infty$ pour éliminer certains termes.

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