Famille génératrice de M₂(ℝ)

Facile
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Énoncé

Dans l'espace vectoriel on considère les quatre matrices :

Montrer que est une famille génératrice de .

Indices

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1 Indice 1
Pour montrer qu'une famille est génératrice, tu dois prouver que toute matrice $M=\begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}$ de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ peut s'écrire comme combinaison linéaire de $A$, $B$, $C$ et $D$.
2 Indice 2
Observe bien où se trouve le coefficient $1$ dans chaque matrice : $A$ a un $1$ en position $(1,1)$, $B$ en position $(2,1)$, $C$ en position $(1,2)$ et $D$ en position $(2,2)$. Essaie d'écrire $M=\alpha A+\beta B+\gamma C+\delta D$ et identifie les coefficients.

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La méthode — par où commencer

Pour montrer qu'une famille est génératrice, tu dois prouver que toute matrice de peut s'écrire comme combinaison linéaire de , , et .

Observe bien où se trouve le coefficient dans chaque matrice : a un en position , en position , en position et en position . Essaie d'écrire et identifie les coefficients.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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Anneau intègre de matrices $M(a,b)$ et morphisme $\varphi=|a^2-3b^2|$ Tous les exercices du chapitre Deux familles libres : nombres complexes et exponentielles