Matrice nilpotente et inverses associés

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Énoncé

Une matrice nilpotente

Soit la matrice .

  1. Montrer que et en déduire que n'est pas inversible.
  2. Montrer que et sont inversibles, et déterminer leurs inverses en fonction de , et .

Indices

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1 Indice 1
Pour montrer que $A^3 = O$, commence par calculer $A^2$ en effectuant le produit matriciel $A \times A$. Tu verras qu'elle devient encore plus simple, avec davantage de zéros.
2 Indice 2
Pour l'inversibilité de $I - A$, pense à la formule de factorisation $1 - x^3 = (1-x)(1+x+x^2)$. Applique cette idée avec les matrices : écris $I - A^3 = (I-A)(I+A+A^2)$ et utilise le fait que $A^3 = O$.

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La méthode — par où commencer

Pour montrer que , commence par calculer en effectuant le produit matriciel . Tu verras qu'elle devient encore plus simple, avec davantage de zéros.

Pour l'inversibilité de , pense à la formule de factorisation . Applique cette idée avec les matrices : écris et utilise le fait que .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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