Matrice nilpotente $A^3 = O$ : inverses de $I-A$ et $I+A$

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Soit la matrice

  1. Montrer que et en déduire que n'est pas inversible.
  2. Montrer que et sont inversibles, et déterminer leurs inverses en fonction de , et .

Indices

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1 Indice 1
Pour calculer $A^3$, commence par multiplier $A \times A$ pour obtenir $A^2$. Observe bien la structure triangulaire : chaque multiplication « remonte » les zéros. Ensuite, multiplie $A^2$ par $A$.
2 Indice 2
Pour l'inversibilité de $I - A$, pense aux identités remarquables généralisées. Essaie de développer $(I - A)(I + A + A^2)$ en utilisant le fait que $A^3 = O$. Que remarques-tu ?

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La méthode — par où commencer

Pour calculer , commence par multiplier pour obtenir . Observe bien la structure triangulaire : chaque multiplication « remonte » les zéros. Ensuite, multiplie par .

Pour l'inversibilité de , pense aux identités remarquables généralisées. Essaie de développer en utilisant le fait que . Que remarques-tu ?

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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Matrices $A$ (tous les coefficients $1$) et $B$ : puissances et inversibilité Tous les exercices du chapitre Groupe commutatif sur $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ muni de $x*y=x+y+xy$