Puissances et inverse de matrices 3×3

Étude de deux matrices d'ordre 3

Soient les matrices

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)$

1. Montrer que $A^2=3A$ et en déduire que $A$ n'est pas inversible.
2. Calculer $A^n$ pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, puis $M=I+A+A^2+\cdots +A^n$.
3. Montrer que $B^2-B-2I=O$ et en déduire que $B$ est inversible.