Matrices $A$ (tous les coefficients $1$) et $B$ : puissances et inversibilité

Difficile
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Énoncé

Soient les matrices

  1. Montrer que , et en déduire que n'est pas inversible.
  2. Calculer pour , puis .
  3. Montrer que , en déduire que est inversible et donner .

Indices

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1 Indice 1
Pour la question 1, calcule $A^2$ coefficient par coefficient (chaque terme est une somme de trois produits égaux à 1) et compare avec $3A$.
2 Indice 2
Suppose que $A$ est inversible et multiplie la relation $A^2=3A$ par $A^{-1}$ à gauche pour voir ce que cela impose, puis conclus.
3 Indice 3
Pour $A^n$, cherche une relation de récurrence entre $A^{n+1}$ et $A^n$ en utilisant $A^2=3A$. Pour B, remarque que $B=A-I$ et remplace dans $A^2=3A$ pour obtenir une relation avec $B$ seul, puis factorise pour trouver $B^{-1}$.

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La méthode — par où commencer

Pour la question 1, calcule coefficient par coefficient (chaque terme est une somme de trois produits égaux à 1) et compare avec .

Suppose que est inversible et multiplie la relation par à gauche pour voir ce que cela impose, puis conclus.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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Inverse de $A = \begin{pmatrix} 6 & 1 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}$ et non-inversibilité de $B$ Tous les exercices du chapitre Matrice nilpotente $A^3 = O$ : inverses de $I-A$ et $I+A$